Завдання № 12.19. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ відомо, що $BC=\sqrt{3}\text{ см}$, $AB=\sqrt{2}\text{ см}$, а $\angle C=45^{\circ }$. Знайдіть градусну міру кута $A$.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів

За теоремою синусів для трикутника $ABC$ сторони пропорційні синусам протилежних кутів:

2. Обчислення синуса шуканого кута

Виразимо з пропорції $\sin \angle A$:

Підставимо відомі числові значення ($BC=\sqrt{3}\text{ см}$, $AB=\sqrt{2}\text{ см}$, $\angle C=45^{\circ }$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$):

3. Визначення можливих значень кута та їх перевірка

Рівняння $\sin \angle A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ для кута трикутника ($0^{\circ }<\angle A<180^{\circ }$) має два розв’язки:

1) $\angle A=60^{\circ }$;

2) $\angle A=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.

Перевіримо, чи задовольняють обидва значення геометричні властивості трикутника:

• У будь-якому трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут. Оскільки $BC=\sqrt{3}\text{ см}>AB=\sqrt{2}\text{ см}$, має виконуватися нерівність $\angle A>\angle C$ ($45^{\circ }$). Обидва кути ($60^{\circ }$ і $120^{\circ }$) більші за $45^{\circ }$.
• Сума кутів має бути меншою за $180^{\circ }$:
  • Якщо $\angle A=60^{\circ }$, то $\angle A+\angle C=60^{\circ }+45^{\circ }=105^{\circ }<180^{\circ }$ (тоді $\angle B=75^{\circ }$).
  • Якщо $\angle A=120^{\circ }$, то $\angle A+\angle C=120^{\circ }+45^{\circ }=165^{\circ }<180^{\circ }$ (тоді $\angle B=15^{\circ }$).

Отже, обидва варіанти є можливими.

Відповідь:
$60^{\circ }$ або $120^{\circ }$.