Завдання № 12.16. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, катет якого дорівнює $18 см$ , а прилеглий до нього кут — $3 0^{\circ}$ .

Покроковий розв’язок:

Нехай дано прямокутний трикутник $△ A B C$ , у якому $∠ C = 9 0^{\circ}$ .
За умовою:

катет $A C = 18 см$ ;
прилеглий до нього кут $∠ A = 3 0^{\circ}$ .

Розв’язати задачу можна двома простими способами.

Спосіб 1 (через теорему синусів):

1. Знаходження другого гострого кута трикутника
Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $9 0^{\circ}$ :

∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ A = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

2. Обчислення радіуса описаного кола
За наслідком з узагальненої теореми синусів, відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола ( $2 R$ ):

\frac{A C}{sin B} = 2 R

Звідси виразимо радіус $R$ :

R = \frac{A C}{2 \cdot sin B}

Підставимо відомі значення ( $A C = 18 см$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ):

R = \frac{18}{2 \cdot sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{18}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{18}{3}

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу, помноживши чисельник і знаменник на $3$ :

R = \frac{18 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{18 3}{3} = 63 см

Спосіб 2 (через властивість гіпотенузи прямокутного трикутника):

1. Знаходження гіпотенузи
За означенням косинуса гострого кута в прямокутному трикутнику $△ A B C$ :

cos A = \frac{A C}{A B} ⟹ A B = \frac{A C}{cos A}

A B = \frac{18}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{18}{\frac{3}{2}} = \frac{36}{3} = \frac{36 3}{3} = 123 см

2. Обчислення радіуса
Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи, а його радіус дорівнює половині гіпотенузи:

R = \frac{A B}{2} = \frac{12 3}{2} = 63 см

Відповідь:
$63 см$

Завдання № 12.16. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку