Завдання № 12.15. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Доведіть, що в будь-якому трикутнику сторона, що лежить проти кута $30^{\circ }$, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень

Нехай дано довільний трикутник $△ABC$, у якому один із кутів дорівнює $30^{\circ }$. Для зручності приймемо:
$\angle A=30^{\circ }$

Тоді сторона, що лежить проти цього кута, — це сторона $BC$.

Позначимо радіус кола, описаного навколо трикутника $△ABC$, через $R$.

2. Застосування узагальненої теореми синусів

За теоремою синусів (наслідок про описане коло), відношення будь-якої сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола (діаметру):
$\frac{BC}{\sin \angle A}=2R$

3. Обчислення довжини протилежної сторони

Виразимо сторону $BC$ через радіус $R$ та кут $\angle A$:
$BC=2R\cdot \sin \angle A$

Оскільки $\angle A=30^{\circ }$, підставимо табличне значення тригонометричної функції $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$:
$BC=2R\cdot \sin 30^{\circ }=2R\cdot \frac{1}{2}=R$

Отримали, що $BC=R$, тобто довжина сторони, яка лежить проти кута $30^{\circ }$, дійсно дорівнює радіусу описаного навколо трикутника кола.

Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено.