Завдання № 12.14. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За допомогою наслідку з теореми синусів знайдіть сторони рівностороннього трикутника за радіусом $R$ описаного кола.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості рівностороннього трикутника

Нехай задано рівносторонній трикутник $ABC$, вписаний у коло радіуса $R$. Усі сторони такого трикутника рівні між собою:
$AB=BC=AC=a$

Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$, а всі кути правильного трикутника є рівними, то величина кожного з них становить:
$\angle A=\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ }}{3}=60^{\circ }$

2. Застосування наслідку з теореми синусів

За наслідком із теореми синусів, відношення будь-якої сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола ($2R$):
$\frac{a}{\sin 60^{\circ }}=2R$

3. Обчислення довжини сторони трикутника

Виразимо сторону $a$ через радіус $R$:
$a=2R\cdot \sin 60^{\circ }$

Значення синуса кута $60^{\circ }$ дорівнює $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Підставимо його у формулу:
$a=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$

Таким чином, кожна сторона правильного трикутника дорівнює $R\sqrt{3}$.

Відповідь: $R\sqrt{3}$.