Завдання № 12.13. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
За допомогою теореми синусів знайдіть радіус кола, описаного навколо:

1) рівностороннього трикутника зі стороною $a$ ;

2) прямокутного трикутника з гіпотенузою $c$ .

Покроковий розв’язок:

1. Радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника
У правильному (рівносторонньому) трикутнику всі внутрішні кути рівні між собою та дорівнюють $6 0^{\circ}$ .
За наслідком із теореми синусів, відношення будь-якої сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного навколо нього кола:

\frac{a}{sin 6 0 ^{\circ}} = 2 R

Виразимо шуканий радіус $R$ :

R = \frac{a}{2 \cdot sin 6 0 ^{\circ}}

Підставимо значення $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ :

R = \frac{a}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{a}{3}

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:

R = \frac{a \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{a 3}{3}

2. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника
У прямокутному трикутнику навпроти гіпотенузи $c$ завжди лежить прямий кут, тобто кут $9 0^{\circ}$ .
Застосуємо теорему синусів для гіпотенузи та прямого кута:

\frac{c}{sin 9 0 ^{\circ}} = 2 R

Виразимо радіус $R$ :

R = \frac{c}{2 \cdot sin 9 0 ^{\circ}}

Оскільки $sin 9 0^{\circ} = 1$ , отримуємо:

R = \frac{c}{2 \cdot 1} = \frac{c}{2}

Відповідь:

1) $\frac{a 3}{3}$ ;

2) $\frac{c}{2}$ .

Завдання № 12.13. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку