Завдання № 12.10. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $∠ B = 1 5^{\circ}$ , а сторона $B C = 83 см$ . Знайдіть довжину сторони $A B$ .

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третього кута трикутника

Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ . Звідси знайдемо кут $C$ :

∠ C = 18 0^{\circ} - (∠ A + ∠ B) = 18 0^{\circ} - (12 0^{\circ} + 1 5^{\circ}) = 18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

2. Застосування теореми синусів

За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

\frac{A B}{sin ∠ C} = \frac{B C}{sin ∠ A}

Виразимо шукану сторону $A B$ :

A B = \frac{B C \cdot sin ∠ C}{sin ∠ A}

3. Обчислення значення сторони $A B$

Знайдемо значення синусів відповідних кутів:

$sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$
$sin 12 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$

Підставимо відомі числові дані:

A B = \frac{8 3 \cdot sin 4 5 ^{\circ}}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{8 3 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{3}{2}}

Скоротимо дріб на спільний знаменник $2$ та на $3$ :

A B = \frac{8 3 \cdot 2}{3} = 82 см

Відповідь:
$82 см$ .