Завдання № 12.1. § 12. Теорема синусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику проти сторони $a$ лежить кут $50^{\circ }$, а проти сторони $b$ — кут $40^{\circ }$. Які з рівностей є правильними:

1) $\frac{a}{\cos 50^{\circ }}=\frac{b}{\cos 40^{\circ }}$

2) $\frac{a}{\sin 50^{\circ }}=\frac{b}{\sin 40^{\circ }}$

3) $\frac{a}{\sin 40^{\circ }}=\frac{b}{\sin 50^{\circ }}$

4) $\frac{a}{b}=\frac{\sin 50^{\circ }}{\sin 40^{\circ }}$

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів
За теоремою синусів, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

За умовою задачі, проти сторони $a$ лежить кут $50^{\circ }$, тобто $\alpha =50^{\circ }$, а проти сторони $b$ — кут $40^{\circ }$, тобто $\beta =40^{\circ }$.

Підставимо ці значення у формулу:

Отже, рівність 2) є правильною.

2. Аналіз інших рівностей

• Рівність 1) використовує функцію косинуса замість синуса, тому вона є неправильною.
• У рівності 3) синуси кутів переставлені місцями: проти сторони $a$ записано $\sin 40^{\circ }$, хоча кут дорівнює $50^{\circ }$. Отже, рівність 3) є неправильною.
• Перевіримо рівність 4). Скористаємося основною властивістю пропорції для правильної рівності 2):

Поділимо обидві частини рівності на добуток $b\cdot \sin 40^{\circ }$:

Після скорочення однакових множників отримуємо:

Отже, рівність 4) також є правильною.

Відповідь:
Правильними є рівності 2) та 4).