Завдання № 11. Завдання для перевірки знань до §§ 15–17 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці хорди, $6\sqrt{2}\text{ см}$ завдовжки, ділять коло у відношенні $1:3$. Знайдіть площі сегментів, що утворилися.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження градусної міри дуг та центрального кута

Повне коло має градусну міру $360^{\circ }$. Кінці хорди $AB$ ділять коло на дві дуги у відношенні $1:3$.

Нехай одна частина становить $x$. Тоді градусна міра меншої дуги дорівнює $x$, а більшої — $3x$:
$x+3x=360^{\circ }$
$4x=360^{\circ }⟹x=90^{\circ }$

Отже, менша дуга має градусну міру $90^{\circ }$, а відповідний їй центральний кут $\angle AOB=90^{\circ }$.

2. Знаходження радіуса кола

Розглянемо трикутник $△AOB$. Оскільки сторони $OA$ і $OB$ є радіусами кола ($OA=OB=R$), трикутник $△AOB$ є прямокутним і рівнобедреним з гіпотенузою $AB=6\sqrt{2}\text{ см}$.

За теоремою Піфагора:
$O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$
$R^2+R^2=(6\sqrt{2}{)}^2$
$2R^2=36\cdot 2$
$2R^2=72⟹R^2=36⟹R=6\text{ см}$

3. Обчислення площі меншого сегмента $S_1$

Площа кругового сегмента, що спирається на дугу $90^{\circ }$, дорівнює різниці площ відповідного кругового сектора та рівнобедреного прямокутного трикутника $△AOB$:

$S_{\text{сект}}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot 90^{\circ }=\frac{\pi \cdot 6^2}{4}=\frac{36\pi }{4}=9\pi {\text{ см}}^2$

$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18{\text{ см}}^2$

Тоді площа меншого сегмента:
$S_1=S_{\text{сект}}-S_{△AOB}=(9\pi -18){\text{ см}}^2$

4. Обчислення площі більшого сегмента $S_2$

Площа круга радіуса $R=6\text{ см}$:
$S_{\text{кр}}=\pi R^2=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{ см}}^2$

Площу більшого сегмента $S_2$ знайдемо як різницю площі круга та площі меншого сегмента $S_1$:
$S_2=S_{\text{кр}}-S_1=36\pi -(9\pi -18)=36\pi -9\pi +18=(27\pi +18){\text{ см}}^2$

Відповідь: $(9\pi -18){\text{ см}}^2$ та $(27\pi +18){\text{ см}}^2$.