Завдання № 11. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють $16 см$ і $38 см$ , а медіана, проведена до третьої сторони, — $25 см$ .

Покроковий розв’язок:

Нехай у $△ A B C$ сторони дорівнюють $A B = 16 см$ , $A C = 38 см$ , а відрізок $A K$ — медіана, проведена до сторони $B C$ , тобто $A K = 25 см$ і $B K = K C$ . Позначимо невідому сторону $B C = a$ .

1. Знаходження третьої сторони за формулою довжини медіани

Довжина медіани $m_{a}$ , проведеної до сторони $a$ , пов’язана зі сторонами трикутника співвідношенням:
$m_{a} = \frac{1}{2} 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$

Піднесемо обидві частини рівності до квадрата:
$4 m_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$

Звідси виразимо квадрат невідомої сторони $a^{2}$ :
$a^{2} = 2 \cdot (b^{2} + c^{2}) - 4 m_{a}^{2}$

Підставимо відомі значення ( $b = A C = 38 см$ , $c = A B = 16 см$ , $m_{a} = A K = 25 см$ ):

a^{2} a^{2} a^{2} a^{2} a^{2} = 2 \cdot (3 8^{2} + 1 6^{2}) - 4 \cdot 2 5^{2} = 2 \cdot (1444 + 256) - 4 \cdot 625 = 2 \cdot 1700 - 2500 = 3400 - 2500 = 900

Оскільки довжина сторони є додатною величиною:
$a = 900 = 30 см$

Отже, сторона $B C = 30 см$ .

2. Обчислення площі трикутника за формулою Герона

Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутника ( $16 см$ , $38 см$ , $30 см$ ), знайдемо його півпериметр $p$ :
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{30 + 38 + 16}{2} = \frac{84}{2} = 42 см$

За формулою Герона площа трикутника дорівнює:
$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$

Обчислимо різниці півпериметра та кожної зі сторін:

p - a p - b p - c = 42 - 30 = 12 см = 42 - 38 = 4 см = 42 - 16 = 26 см

Підставимо знайдені значення під корінь та розкладемо множники:

S = 42 \cdot 12 \cdot 4 \cdot 26 = (6 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 2) \cdot 4 \cdot (2 \cdot 13) = 6^{2} \cdot 2^{2} \cdot 4 \cdot (7 \cdot 13) = 36 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 91 = 576 \cdot 91 = 2491 см^{2}

Відповідь: $2491 см^{2}$

Завдання № 11. Завдання для перевірки знань до §§ 11–14 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку