Завдання № 11. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони квадрата лежать на прямих $5x-12y-65=0$ та $5x-12y+26=0$. Обчисліть його площу.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження взаємного розміщення прямих

Запишемо загальні рівняння заданих прямих:
$l_1:5x-12y+26=0$
$l_2:5x-12y-65=0$

Коефіцієнти при змінних $x$ та $y$ у рівняннях прямих рівні ($A_1=A_2=5$, $B_1=B_2=-12$). Це означає, що їхні нормальні вектори $\vec{n}=(5;-12)$ збігаються, отже, прямі паралельні:
$l_1\parallel l_2$

Оскільки протилежні сторони квадрата лежать на паралельних прямих, відстань між цими прямими дорівнює довжині сторони квадрата $a$.

2. Обчислення довжини сторони квадрата

Відстань $d$ між двома паралельними прямими $Ax+By+C_1=0$ та $Ax+By+C_2=0$ обчислюється за формулою:
$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Підставимо значення коефіцієнтів $A=5$, $B=-12$, $C_1=26$, $C_2=-65$:
$a=d=\frac{|26-(-65)|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|26+65|}{\sqrt{25+144}}=\frac{91}{\sqrt{169}}=\frac{91}{13}=7$

(Також відстань можна знайти через точку: виберемо точку $M(2;3)$, яка належить прямій $l_1$, адже $5\cdot 2-12\cdot 3+26=0$. Тоді відстань від точки $M$ до прямої $l_2$ дорівнює: $d=\frac{|5\cdot 2-12\cdot 3-65|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|10-36-65|}{13}=\frac{|-91|}{13}=7$).

Отже, сторона квадрата дорівнює $7$.

3. Обчислення площі квадрата

Площа квадрата обчислюється за формулою:
$S=a^2$

$S=7^2=49$

Відповідь: $49$.