Завдання № 11. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Для сторін трикутника $ABC$ справджується рівність $c^2=a^2+b^2+\sqrt{2}\cdot a\cdot b$. Знайдіть градусну міру кута $C$.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми косинусів
За теоремою косинусів для сторони $c$ трикутника $ABC$ маємо:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \angle C$

2. Складання рівняння
За умовою задачі також відомо, що:
$c^2=a^2+b^2+\sqrt{2}\cdot a\cdot b$

Прирівняємо праві частини обох виразів для $c^2$:
$a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \angle C=a^2+b^2+\sqrt{2}\cdot a\cdot b$

3. Знаходження значення $\cos \angle C$
Віднімемо від обох частин рівності $(a^2+b^2)$:
$-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \angle C=\sqrt{2}\cdot a\cdot b$

Оскільки довжини сторін трикутника є додатними числами ($a>0$, $b>0$), добуток $a\cdot b\ne 0$. Поділимо обидві частини рівняння на $(-2\cdot a\cdot b)$:
$\cos \angle C=-\frac{\sqrt{2}\cdot a\cdot b}{2\cdot a\cdot b}$
$\cos \angle C=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Визначення градусної міри кута $C$
Оскільки кут трикутника задовольняє умову $0^{\circ }<\angle C<180^{\circ }$, а його косинус є від’ємним, то кут $C$ є тупим:
$\angle C=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$

Відповідь:
$135^{\circ }$