Завдання № 11. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD$ — ромб. Знайдіть:

1) $\angle 2$, якщо $\angle 1=48^{\circ }$;

2) $\angle 1$, якщо $\angle 3=50^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

За властивостями ромба:

• усі сторони рівні ($AB=BC=CD=AD$);
• протилежні сторони паралельні ($AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$);
• діагоналі є бісектрисами його кутів (діагональ $BD$ ділить $\angle B$ та $\angle D$ навпіл);
• сума сусідніх кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих).

1. Знаходження $\angle 2$, якщо $\angle 1=48^{\circ }$

Оскільки діагональ $BD$ є бісектрисою кута $\angle ABC$, маємо:
$\angle B=2\cdot \angle 1=2\cdot 48^{\circ }=96^{\circ }$

Кути $\angle B$ та $\angle C$ є сусідніми кутами ромба, тому їхня сума становить $180^{\circ }$:
$\angle B+\angle C=180^{\circ }$

Звідси знаходимо кут $\angle 2$ (який є кутом $\angle C$ ромба):
$\angle 2=180^{\circ }-\angle B=180^{\circ }-96^{\circ }=84^{\circ }$

2. Знаходження $\angle 1$, якщо $\angle 3=50^{\circ }$

Кут $\angle 3$ та внутрішній кут ромба $\angle ADC$ є суміжними, оскільки утворені прямою $AD$ та променем $DC$. Сума суміжних кутів дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle ADC+\angle 3=180^{\circ }$
$\angle ADC=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$

Оскільки протилежні кути ромба рівні, то:
$\angle B=\angle ADC=130^{\circ }$

Діагональ $BD$ ділить кут $\angle B$ навпіл, отже:
$\angle 1=\frac{\angle B}{2}=\frac{130^{\circ }}{2}=65^{\circ }$

(Спосіб 2: Оскільки $AB\parallel CD$, а пряма $AD$ є їхньою січною, то $\angle A$ та $\angle 3$ є відповідними кутами, отже $\angle A=\angle 3=50^{\circ }$. Тоді $\angle B=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$, звідки $\angle 1=\frac{130^{\circ }}{2}=65^{\circ }$).

Відповідь:

1) $\angle 2=84^{\circ }$;

2) $\angle 1=65^{\circ }$.