Завдання № 11. Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–17) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

За довжиною дуги кола, що дорівнює $4\pi \text{ см}$, знайдіть її хорду, якщо градусна міра цієї дуги становить $120^{\circ }$.

А. $6\text{ см}$
Б. $12\text{ см}$
В. $6\sqrt{2}\text{ см}$
Г. $6\sqrt{3}\text{ см}$

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса кола

Довжина дуги кола обчислюється за формулою:
$l=\frac{\pi R\cdot n^{\circ }}{180^{\circ }}$

де:

• $l=4\pi \text{ см}$ — довжина дуги;
• $n^{\circ }=120^{\circ }$ — її градусна міра;
• $R$ — радіус кола.

Підставимо відомі значення у формулу:
$4\pi =\frac{\pi R\cdot 120^{\circ }}{180^{\circ }}$

Скоротимо дріб у правій частині на $60^{\circ }$:
$4\pi =\frac{2\pi R}{3}$

Поділимо обидві частини рівняння на $2\pi$:
$2=\frac{R}{3}⟹R=2\cdot 3=6\text{ см}$

Отже, радіус кола дорівнює $6\text{ см}$.

2. Обчислення довжини хорди

Нехай хорда $AB$ стягує дугу з градусною мірою $120^{\circ }$. Тоді відповідний центральний кут $\angle AOB=120^{\circ }$.

Розглянемо трикутник $△AOB$. Оскільки $OA=OB=R=6\text{ см}$, він є рівнобедреним з основою $AB$.

Застосуємо теорему косинусів для трикутника $△AOB$:
$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \angle AOB$

Значення косинуса тупого кута: $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

Підставимо числові дані:

Звідси знайдемо довжину хорди $AB$:
$AB=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\text{ см}$

Відповідь: Г. $6\sqrt{3}\text{ см}$.