Завдання № 11. Домашня самостійна робота 3 (§§11–14) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $6\text{ см}$ і $16\text{ см}$. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо її відношення до радіуса описаного навколо нього кола дорівнює $\sqrt{3}:1$.

А. $14\text{ см}$
Б. $16\text{ см}$
В. $14\text{ см}$ або $2\sqrt{97}\text{ см}$
Г. $18\text{ см}$

Покроковий розв’язок:

Позначимо відомі сторони трикутника як $a=6\text{ см}$ і $b=16\text{ см}$, а невідому третю сторону — як $c$. Нехай кут, що лежить проти сторони $c$, дорівнює $\alpha$, а радіус описаного навколо трикутника кола — $R$.

1. Знаходження кута $\alpha$ за наслідком з теореми синусів

За умовою задачі відношення третьої сторони до радіуса описаного кола становить:
$\frac{c}{R}=\sqrt{3}$

За узагальненою теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола:
$\frac{c}{\sin \alpha }=2R$

Виразимо $\sin \alpha$:
$\sin \alpha =\frac{c}{2R}=\frac{1}{2}\cdot \frac{c}{R}$

Підставимо значення відношення $\frac{c}{R}=\sqrt{3}$:
$\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Оскільки $\alpha$ — це внутрішній кут трикутника ($0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$), рівність $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ задовольняють два значення кута:
$\alpha =60^{\circ }\text{або}\alpha =180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

2. Обчислення третьої сторони за теоремою косинусів

Розглянемо обидва можливі випадки:

Випадок 1: якщо $\alpha =60^{\circ }$.
За теоремою косинусів:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha$
$c^2=6^2+16^2-2\cdot 6\cdot 16\cdot \cos 60^{\circ }$

Оскільки $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$:
$c^2=36+256-2\cdot 6\cdot 16\cdot \frac{1}{2}$
$c^2=292-96=196$
$c=\sqrt{196}=14\text{ см}$

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $6\text{ см}$, $14\text{ см}$ та $16\text{ см}$:
$6+14=20>16$
Трикутник із такими сторонами існує.

Випадок 2: якщо $\alpha =120^{\circ }$.
За теоремою косинусів:
$c^2=6^2+16^2-2\cdot 6\cdot 16\cdot \cos 120^{\circ }$

Оскільки $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$:
$c^2=36+256-2\cdot 6\cdot 16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$c^2=292+96=388$
$c=\sqrt{388}=\sqrt{4\cdot 97}=2\sqrt{97}\text{ см}$

Перевіримо нерівність трикутника для сторін $6\text{ см}$, $16\text{ см}$ та $2\sqrt{97}\text{ см}$ (оскільки $\sqrt{97}\approx 9,85$, то $2\sqrt{97}\approx 19,7\text{ см}$):
$6+16=22>19,7$
Такий трикутник також існує.

Отже, довжина третьої сторони може дорівнювати $14\text{ см}$ або $2\sqrt{97}\text{ см}$.

Відповідь: В. $14\text{ см}$ або $2\sqrt{97}\text{ см}$