Завдання № 11. Домашня самостійна робота 1 (§§1–5) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
З’ясуйте взаємне розташування двох кіл, заданих рівняннями $(x+2{)}^2+y^2=16$ і $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=9$.
А. Перетинаються
Б. Мають внутрішній дотик
В. Мають зовнішній дотик
Г. Не перетинаються

Покроковий розв’язок:

1. Визначення центрів та радіусів кіл
Рівняння кола з центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Для першого кола $(x+2{)}^2+y^2=16$:

• координати центра: $O_1(-2;0)$;
• радіус кола: $R_1=\sqrt{16}=4$.

Для другого кола $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=9$:

• координати центра: $O_2(2;3)$;
• радіус кола: $R_2=\sqrt{9}=3$.

2. Знаходження відстані між центрами кіл
Відстань $d=O_1{O}_2$ між точками $O_1(x_1;y_1)$ та $O_2(x_2;y_2)$ обчислюємо за формулою відстані між двома точками:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Підставимо координати точок $O_1(-2;0)$ і $O_2(2;3)$:
$O_1{O}_2=\sqrt{(2-(-2){)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{(2+2{)}^2+3^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

3. Аналіз взаємного розташування кіл
Знайдемо суму та модуль різниці радіусів цих кіл:
$R_1+R_2=4+3=7$
$|R_1-R_2|=|4-3|=1$

Порівняємо відстань між центрами $d=5$ із сумою та різницею радіусів:
$|R_1-R_2|<d<R_1+R_2$
$1<5<7$

Якщо відстань між центрами двох кіл більша за модуль різниці їхніх радіусів, але менша за суму їхніх радіусів, то такі кола перетинаються у двох точках.

Отже, кола перетинаються. Правильний варіант відповіді — А.

Відповідь:
А. Перетинаються