Завдання № 11.9. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Знайдіть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють $4 см$ , $5 см$ і $8 см$ .

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику $△ A B C$ довжини сторін дорівнюють:
$A C = 4 см$ , $A B = 5 см$ , $B C = 8 см$ .

За теоремою косинусів квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Звідси косинус довільного кута можна виразити через довжини сторін трикутника:
$cos α = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 \cdot b \cdot c}$
де $a$ — сторона, що лежить навпроти кута $α$ , а $b$ та $c$ — сторони, що утворюють цей кут.

1. Обчислення косинуса кута $A$ :

Кут $A$ лежить навпроти сторони $B C = 8 см$ :
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos ∠ A$

Виразимо $cos ∠ A$ :

cos ∠ A = \frac{A C ^{2} + A B ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A C \cdot A B} = \frac{4 ^{2} + 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 64}{40} = \frac{- 23}{40} = - \frac{23}{40}

Оскільки косинус кута від’ємний, кут $A$ є тупим.

2. Обчислення косинуса кута $B$ :

Кут $B$ лежить навпроти сторони $A C = 4 см$ :
$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos ∠ B$

Виразимо $cos ∠ B$ :

cos ∠ B = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 16}{80} = \frac{73}{80}

3. Обчислення косинуса кута $C$ :

Кут $C$ лежить навпроти сторони $A B = 5 см$ :
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos ∠ C$

Виразимо $cos ∠ C$ :

cos ∠ C = \frac{A C ^{2} + B C ^{2} - A B ^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C} = \frac{4 ^{2} + 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 8} = \frac{16 + 64 - 25}{64} = \frac{55}{64}

Відповідь: $- \frac{23}{40}$ ; $\frac{73}{80}$ ; $\frac{55}{64}$ .

Завдання № 11.9. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку