Завдання № 11.8. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють $5 см$ , $6 см$ і $7 см$ .

Покроковий розв’язок:

Позначимо вершини трикутника літерами $A$ , $B$ і $C$ , а довжини його сторін відповідно:
$A B = c = 5 см$ , $B C = a = 6 см$ , $A C = b = 7 см$ .

За теоремою косинусів квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos ∠ A$

Звідси отримуємо формулу для косинуса кута:
$cos ∠ A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 \cdot b \cdot c}$

Аналогічно записуємо вирази для косинусів інших кутів трикутника:
$cos ∠ B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 \cdot a \cdot c}$
$cos ∠ C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 \cdot a \cdot b}$

Обчислимо по черзі значення кожного косинуса:

1. Косинус кута $∠ A$ (протилежного до сторони $B C = 6 см$ ):

cos ∠ A = \frac{7 ^{2} + 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35}

2. Косинус кута $∠ B$ (протилежного до сторони $A C = 7 см$ ):

cos ∠ B = \frac{6 ^{2} + 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{36 + 25 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}

3. Косинус кута $∠ C$ (протилежного до сторони $A B = 5 см$ ):

cos ∠ C = \frac{6 ^{2} + 7 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}

Відповідь:
$cos ∠ A = \frac{19}{35}$ , $cos ∠ B = \frac{1}{5}$ , $cos ∠ C = \frac{5}{7}$ (або $\frac{19}{35}$ ; $\frac{1}{5}$ ; $\frac{5}{7}$ ).

Завдання № 11.8. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку