Завдання № 11.7. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторони паралелограма дорівнюють $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$, а кут між ними — $120^{\circ }$. Знайдіть діагоналі паралелограма.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано паралелограм $ABCD$, у якому $AB=3\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, а тупий кут $\angle ABC=120^{\circ }$. Проведемо діагоналі $AC$ та $BD$.

1. Обчислення більшої діагоналі $AC$

Розглянемо $△ABC$. За теоремою косинусів:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$

Враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$, підставимо числові дані:

2. Обчислення меншої діагоналі $BD$

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює $180^{\circ }$ (як сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих $AD$ і $BC$ та січній $AB$):
$\angle BAD=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$

Протилежні сторони паралелограма рівні, отже, $AD=BC=4\text{ см}$.

Застосуємо теорему косинусів для $△ABD$:
$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD$

Оскільки $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, отримуємо:

Відповідь: $\sqrt{37}\text{ см}$ і $\sqrt{13}\text{ см}$.