Завдання № 11.6. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони паралелограма дорівнюють $4\text{ см}$ і $5\text{ см}$, а кут між ними — $60^{\circ }$. Знайдіть діагоналі паралелограма.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якому $AB=4\text{ см}$, $AD=5\text{ см}$, а гострий кут $\angle BAD=60^{\circ }$. За властивістю протилежних сторін паралелограма, $BC=AD=5\text{ см}$.

1. Знаходження діагоналі $BD$

Розглянемо $△ABD$. За теоремою косинусів:
$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD$

Підставимо відомі значення сторін і кута ($\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$):

2. Знаходження кута $\angle ABC$

Сума сусідніх кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $AD$ і $BC$ та січній $AB$):
$\angle ABC=180^{\circ }-\angle BAD=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

3. Знаходження діагоналі $AC$

Розглянемо $△ABC$. За теоремою косинусів:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$

Враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$, обчислимо довжину діагоналі:

Відповідь:
$\sqrt{21}\text{ см}$, $\sqrt{61}\text{ см}$.