Завдання № 11.53. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На відрізку $AB$, як на діаметрі, побудовано півколо. Промені $AK$ і $BK$ перетинають півколо відповідно в точках $M$ і $N$, а відрізки $AN$ і $BM$ перетинаються в точці $L$ (мал. 11.10). Знайдіть кут між прямими $KL$ і $AB$.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження кутів, що спираються на діаметр
Розглянемо $△ABK$. Точки $M$ та $N$ лежать на півколі з діаметром $AB$.
За теоремою про вписаний кут, будь-який вписаний кут, що спирається на діаметр, є прямим ($90^{\circ }$).
Звідси:
$\angle AMB=90^{\circ }⟹BM\perp AK$;
$\angle ANB=90^{\circ }⟹AN\perp BK$.

2. Визначення ролі точки $L$ у трикутнику
Відрізки $AN$ і $BM$ виходять з вершин $A$ та $B$ і перпендикулярні до прямих, що містять протилежні сторони трикутника ($BK$ і $AK$ відповідно). Отже, $AN$ та $BM$ є висотами $△ABK$.
Оскільки відрізки $AN$ і $BM$ перетинаються в точці $L$, точка $L$ є точкою перетину двох висот трикутника $ABK$, тобто його ортоцентром.

3. Знаходження кута між прямими $KL$ і $AB$
За властивістю трикутника, всі три його висоти (або їх продовження) перетинаються в одній точці.
Пряма $KL$ проходить через третю вершину $K$ та ортоцентр $L$, отже, вона обов’язково містить третю висоту $△ABK$, опущену на сторону $AB$.
Це означає, що:
$KL\perp AB$

Кут між перпендикулярними прямими дорівнює $90^{\circ }$.

Відповідь: $90^{\circ }$.