Завдання № 11.51. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Дано: $△ABC$, $\angle C=90^{\circ }$, $AC=3$, $BC=4$ (мал. 11.9).

Знайдіть:

1) $AB$;

2) $\sin A$, $\sin B$;

3) радіус описаного кола $R$;

4) відношення $\frac{AB}{\sin C}$, $\frac{AC}{\sin B}$, $\frac{BC}{\sin A}$.

Переконайтеся, що $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2R$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження гіпотенузи $AB$

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $△ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$):
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}$

Підставимо відомі довжини катетів:
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

2. Знаходження синусів гострих кутів

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

• синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи:

$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}=0,8$

$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}=0,6$

3. Знаходження радіуса описаного кола $R$

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи, а його радіус дорівнює половині гіпотенузи:
$R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2,5$

4. Обчислення відношень сторін до синусів протилежних кутів та їх порівняння з $2R$

Оскільки $\angle C=90^{\circ }$, то $\sin C=\sin 90^{\circ }=1$.

Обчислимо кожне з відношень:
$\frac{AB}{\sin C}=\frac{5}{\sin 90^{\circ }}=\frac{5}{1}=5$

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{3}{0,6}=\frac{30}{6}=5$

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{4}{0,8}=\frac{40}{8}=5$

Знайдемо подвоєний радіус описаного кола:
$2R=2\cdot 2,5=5$

Отже, маємо рівність:
$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2R=5$
що підтверджує справедливість теореми синусів для прямокутного трикутника.

Відповідь:

1) $AB=5$;

2) $\sin A=0,8$; $\sin B=0,6$;

3) $R=2,5$;

4) $\frac{AB}{\sin C}=5$; $\frac{AC}{\sin B}=5$; $\frac{BC}{\sin A}=5$.
Рівність $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2R=5$ доведено.