Завдання № 11.50. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$AB$ — діаметр кола із центром у точці $O$, $\angle BAC=\alpha$, $OB=R$ (мал. 11.8). Знайдіть $BC$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду трикутника $△ABC$
Оскільки відрізок $AB$ є діаметром кола, вписаний кут $\angle ACB$, що спирається на цей діаметр, дорівнює $90^{\circ }$ (за властивістю вписаного кута, який спирається на діаметр):
$\angle ACB=90^{\circ }$
Отже, трикутник $△ABC$ — прямокутний із прямим кутом при вершині $C$.

2. Обчислення довжини гіпотенузи $AB$
Відрізок $OB$ є радіусом даного кола, тобто $OB=R$. Діаметр кола вдвічі більший за його радіус:
$AB=2\cdot OB=2R$

3. Знаходження катета $BC$
У прямокутному трикутнику $△ABC$ синус гострого кута $\alpha$ визначається як відношення протилежного катета $BC$ до гіпотенузи $AB$:
$\sin \alpha =\frac{BC}{AB}$

Звідси виразимо шуканий катет $BC$:
$BC=AB\cdot \sin \alpha$

Підставивши значення гіпотенузи $AB=2R$, маємо:
$BC=2R\sin \alpha$

Відповідь:
$2R\sin \alpha$