Завдання № 11.5. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть сторону $BC$ трикутника $ABC$, якщо:

1) $AC=11\text{ см}$, $AB=20\text{ см}$, $\cos A=\frac{4}{5}$;

2) $AC=4\text{ см}$, $AB=3\text{ см}$, $\cos A=-\frac{1}{4}$;

3) $AC=5\sqrt{3}\text{ см}$, $AB=13\text{ см}$, $\angle A=30^{\circ }$;

4) $AC=3\text{ см}$, $AB=5\text{ см}$, $\angle A=120^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Для знаходження невідомої сторони трикутника за двома відомими сторонами та кутом між ними (або косинусом цього кута) застосуємо теорему косинусів:
$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos A$
Звідси:
$BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos A}$

1) Обчислення для випадку 1:

Підставимо числові значення у формулу:

2) Обчислення для випадку 2:

Оскільки косинус кута є від’ємним числом, кут $A$ — тупий. Знак мінус перед добутком зміниться на плюс:

3) Обчислення для випадку 3:

Знайдемо косинус заданого кута: $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Підставимо значення у формулу:

4) Обчислення для випадку 4:

Знайдемо косинус тупого кута $120^{\circ }$ за формулою зведення:
$\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$
Підставимо значення у формулу:

Відповідь:

1) $13\text{ см}$;

2) $\sqrt{31}\text{ см}$;

3) $7\text{ см}$;

4) $7\text{ см}$.