Завдання № 11.47. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кут між медіаною і висотою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює $\alpha$. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює $c$.

Покроковий розв’язок:

Нехай у прямокутному трикутнику $ABC$ кут $\angle C=90^{\circ }$, а гіпотенуза $AB=c$. З вершини $C$ проведено висоту $CN\perp AB$ та медіану $CP$ до сторони $AB$ ($AP=PB$). За умовою кут між ними дорівнює $\alpha$, тобто $\angle NCP=\alpha$.

Для визначеності припустимо, що $\angle A\le \angle B$ (тобто катет $BC$ коротший або дорівнює катету $AC$, тоді висота лежить ближче до більшого катета, і точка $N$ розташована між $A$ та $P$).

1. Властивість медіани прямокутного трикутника
Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи:
$CP=AP=PB=\frac{c}{2}$

Оскільки $AP=CP$, трикутник $APC$ є рівнобедреним з основою $AC$. Звідси кути при основі рівні:
$\angle ACP=\angle A$

2. Зв’язок гострих кутів прямокутного трикутника
Розглянемо прямокутний трикутник $ANC$ ($\angle ANC=90^{\circ }$). Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, отже:
$\angle ACN=90^{\circ }-\angle A$

3. Знаходження кута $\angle A$ через заданий кут $\alpha$
З малюнка видно, що промінь $CN$ ділить кут $\angle ACP$ на кути $\angle ACN$ та $\angle NCP$:
$\angle ACP=\angle ACN+\angle NCP$

Підставимо у цю рівність виражені значення:
$\angle A=(90^{\circ }-\angle A)+\alpha$

Перенесемо $\angle A$ в ліву частину:
$2\cdot \angle A=90^{\circ }+\alpha$

$\angle A=45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}$

(Якби ми обрали $\angle A>\angle B$, то отримали б $\angle A=45^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$, що відповідає поміняним місцями катетам).

4. Обчислення катетів трикутника
У прямокутному трикутнику $ABC$ довжини катетів виражаються через гіпотенузу та гострий кут:

• Протилежний катет:
  $BC=AB\cdot \sin \angle A=c\cdot \sin \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$
• Прилеглий катет:
  $AC=AB\cdot \cos \angle A=c\cdot \cos \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$

Відповідь:
$c\cdot \sin \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$ та $c\cdot \cos \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$