Завдання № 11.46. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює $40 см$ , а висота, проведена до основи, — $10 см$ . Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:
Нехай задано рівнобедрений трикутник $A B C$ , у якому $A B = B C$ — бічні сторони, $A C$ — основа, а $B K$ — висота, проведена до основи ( $B K ⊥ A C$ , $B K = 10 см$ ).

1. Властивість висоти рівнобедреного трикутника та вираження сторін

У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є також його медіаною. Звідси випливає, що точка $K$ ділить основу $A C$ навпіл:
$A K = K C = \frac{1}{2} \cdot A C$

Периметр трикутника $A B C$ дорівнює:
$P_{△ A B C} = A B + B C + A C = 40 см$

Оскільки $A B = B C$ та $A C = 2 \cdot A K$ , маємо:
$2 \cdot A B + 2 \cdot A K = 40 см$

Поділимо обидві частини рівності на $2$ :
$A B + A K = 20 см$

Нехай довжина відрізка $A K = x см$ , тоді бічна сторона $A B = (20 - x) см$ .

2. Застосування теореми Піфагора

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B K$ ( $∠ B K A = 9 0^{\circ}$ ). За теоремою Піфагора:
$A K^{2} + B K^{2} = A B^{2}$

Підставимо відомі вирази та значення:
$x^{2} + 1 0^{2} = (20 - x)^{2}$
$x^{2} + 100 = 400 - 40 \cdot x + x^{2}$

Спростимо отримане рівняння:
$100 = 400 - 40 \cdot x$
$40 \cdot x = 300$
$x = \frac{300}{40} = 7, 5$

Отже, $A K = 7, 5 см$ .

3. Обчислення основи та площі трикутника

Знайдемо довжину основи $A C$ :
$A C = 2 \cdot A K = 2 \cdot 7, 5 = 15 см$

Обчислимо площу трикутника $A B C$ за формулою половини добутку сторони на проведену до неї висоту:
$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B K = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 см^{2}$

Відповідь: $75 см^{2}$ .

Завдання № 11.46. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку