Завдання № 11.45. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Хорда завдовжки $30\text{ см}$ перпендикулярна до діаметра і ділить його на відрізки у відношенні $1:9$. Знайдіть радіус кола.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень та властивість діаметра, перпендикулярного до хорди

Нехай задано коло з центром у точці $O$ та радіусом $r$.
Проведемо діаметр $AB$ та хорду $CD$, які перетинаються в точці $K$ під прямим кутом ($AB\perp CD$).

За теоремою про діаметр, перпендикулярний до хорди, діаметр ділить цю хорду навпіл:
$CK=KD=\frac{CD}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ см}$

2. Вираження відрізків діаметра через коефіцієнт пропорційності

Точка $K$ ділить діаметр $AB$ у відношенні $1:9$, тобто:
$KB:AK=1:9$

Нехай $KB=x\text{ см}$, тоді $AK=9x\text{ см}$ (де $x>0$).

Довжина діаметра кола дорівнює:
$d=AB=AK+KB=9x+x=10x\text{ см}$

Звідси радіус кола становить:
$r=\frac{d}{2}=\frac{10x}{2}=5x\text{ см}$

3. Застосування теореми про хорди, що перетинаються

Діаметр кола є найбільшою з хорд. За теоремою про добутки відрізків хорд, що перетинаються:
$AK\cdot KB=CK\cdot KD$

Підставимо відомі вирази та значення у рівняння:
$9x\cdot x=15\cdot 15$
$9x^2=225$
$x^2=\frac{225}{9}$
$x^2=25$

Оскільки довжина відрізка є додатною величиною ($x>0$), отримуємо:
$x=5$

4. Обчислення радіуса кола

Знаючи значення $x$, знаходимо радіус:
$r=5\cdot x=5\cdot 5=25\text{ см}$

Відповідь:
$25\text{ см}$