Завдання № 11.44. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано довжини векторів $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$ та кут між ними $\angle (\vec{a},\vec{b})=45^{\circ }$. Знайдіть:

1) $\vec{a}\cdot \vec{b}$;

2) $\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})$;

3) $\vec{b}\cdot (\vec{a}-\vec{b})$;

4) $\vec{a}\cdot (2\vec{a}+5\vec{b})$.

Покроковий розв’язок:

Для обчислення виразів скористаємося означенням скалярного добутку векторів:

а також його властивостями:

• Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля: ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$;
• Переставна властивість: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$;
• Розподільна властивість: $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$.

1. Знаходження скалярного добутку $\vec{a}\cdot \vec{b}$

За означенням скалярного добутку векторів:

Підставимо числові значення:

2. Знаходження виразу $\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})$

Розкриємо дужки за розподільною властивістю:

Підставимо значення довжини вектора $|\vec{a}|=2$ та знайдений вище добуток $\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{2}$:

3. Знаходження виразу $\vec{b}\cdot (\vec{a}-\vec{b})$

Застосуємо розподільну та переставну властивості скалярного добутку:

Підставимо числові значення $|\vec{b}|=1$ та $\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{2}$:

4. Знаходження виразу $\vec{a}\cdot (2\vec{a}+5\vec{b})$

Розкриємо дужки:

Підставимо відомі значення:

Відповідь:

1) $\sqrt{2}$;

2) $4+\sqrt{2}$;

3) $\sqrt{2}-1$;

4) $8+5\sqrt{2}$.