Завдання № 11.43. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) знайдіть невідомі сторони (з точністю до сотих сантиметра) та кути, якщо:

1) $AB=12\text{ см}$, $\angle A=37^{\circ }$;

2) $BC=16\text{ см}$, $\angle B=49^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Розв’язування трикутника за гіпотенузою та гострим кутом

1) За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника, їхня сума дорівнює $90^{\circ }$:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-37^{\circ }=53^{\circ }$

2) За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:
$\cos A=\frac{AC}{AB}⟹AC=AB\cdot \cos A$

Знаходимо значення $\cos 37^{\circ }\approx 0,7986$:
$AC\approx 12\cdot 0,7986=9,5832\approx 9,58\text{ см}$

3) За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:
$\sin A=\frac{BC}{AB}⟹BC=AB\cdot \sin A$

Знаходимо значення $\sin 37^{\circ }\approx 0,6018$:
$BC\approx 12\cdot 0,6018=7,2216\approx 7,22\text{ см}$

2. Розв’язування трикутника за катетом і прилеглим гострим кутом

1) Знаходимо другий гострий кут трикутника:
$\angle A=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-49^{\circ }=41^{\circ }$

2) За означенням косинуса кута $B$:
$\cos B=\frac{BC}{AB}⟹AB=\frac{BC}{\cos B}$

Знаходимо значення $\cos 49^{\circ }\approx 0,6561$:
$AB\approx \frac{16}{0,6561}\approx 24,3865\approx 24,39\text{ см}$

3) За означенням тангенса кута $B$:
$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{BC}⟹AC=BC\cdot \mathrm{tg}B$

Знаходимо значення $\mathrm{tg}49^{\circ }\approx 1,1504$:
$AC\approx 16\cdot 1,1504=18,4064\approx 18,41\text{ см}$

Відповідь:

1) $\angle B=53^{\circ }$, $AC\approx 9,58\text{ см}$, $BC\approx 7,22\text{ см}$;

2) $\angle A=41^{\circ }$, $AB\approx 24,39\text{ см}$, $AC\approx 18,41\text{ см}$.