Завдання № 11.42. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Більша діагональ ромба дорівнює $d$, а один з його кутів дорівнює $60^{\circ }$. Знайдіть периметр ромба.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано ромб $ABCD$, у якому гострий кут $\angle A=60^{\circ }$.

Більша діагональ ромба лежить навпроти тупого кута, тобто сполучає вершини його гострих кутів: $AC=d$.

Позначимо сторону ромба через $a$, тобто $AB=BC=CD=DA=a$.

1. Знаходження тупого кута ромба

Оскільки ромб є паралелограмом, то сума кутів, прилеглих до однієї його сторони, дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle B=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

2. Обчислення сторони ромба

Розглянемо трикутник $ABC$. За теоремою косинусів:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Підставимо відомі значення ($AC=d$, $AB=BC=a$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$):
$d^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$d^2=2a^2+a^2$
$d^2=3a^2$

Звідси виразимо довжину сторони $a$:
$a^2=\frac{d^2}{3}$
$a=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}$

(Альтернативний геометричний спосіб: діагоналі ромба перпендикулярні та точкою перетину $O$ діляться навпіл, а також є бісектрисами його кутів. Тоді в прямокутному $△ABO$ кут $\angle BAO=30^{\circ }$, катет $AO=\frac{d}{2}$. Звідси гіпотенуза $AB=\frac{AO}{\cos 30^{\circ }}=\frac{\frac{d}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}$.)

3. Знаходження периметра ромба

Периметр ромба дорівнює сумі чотирьох його однакових сторін:
$P=4\cdot a=4\cdot \frac{d\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}d}{3}$

Відповідь:
$\frac{4\sqrt{3}d}{3}$