Завдання № 11.41. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У трикутнику $A B C$ сторона $A B = 20 см$ , а відрізки $A P$ та $B N$ — його медіани, причому $A P = 42 см$ , $B N = 36 см$ . Знайдіть довжину третьої медіани трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість точки перетину медіан трикутника

Нехай $C D$ — третя медіана трикутника $A B C$ , проведена до сторони $A B$ , а точка $O$ — точка перетину всіх трьох медіан.

За теоремою про точку перетину медіан трикутника (центроїд), медіани перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні $2 : 1$ , рахуючи від вершин:
$A O = \frac{2}{3} \cdot A P = \frac{2}{3} \cdot 42 = 28 см$
$B O = \frac{2}{3} \cdot B N = \frac{2}{3} \cdot 36 = 24 см$
$O D = \frac{1}{3} \cdot C D ⟹ C D = 3 \cdot O D$

2. Знаходження відрізка $O D$ у трикутнику $A B O$

Оскільки точка $D$ є серединою сторони $A B$ , відрізок $O D$ є медіаною трикутника $A B O$ , проведеною до сторони $A B = 20 см$ .

За теоремою про довжину медіани трикутника (або теоремою про зв’язок між медіаною та сторонами трикутника):
$O D^{2} = \frac{2 \cdot A O ^{2} + 2 \cdot B O ^{2} - A B ^{2}}{4}$

Помножимо обидві частини рівності на $4$ :
$4 \cdot O D^{2} = 2 \cdot (A O^{2} + B O^{2}) - A B^{2}$

Підставимо відомі значення довжин:
$4 \cdot O D^{2} = 2 \cdot (2 8^{2} + 2 4^{2}) - 2 0^{2}$
$4 \cdot O D^{2} = 2 \cdot (784 + 576) - 400$
$4 \cdot O D^{2} = 2 \cdot 1360 - 400$
$4 \cdot O D^{2} = 2720 - 400$
$4 \cdot O D^{2} = 2320$
$O D^{2} = \frac{2320}{4} = 580$

Обчислимо довжину $O D$ :
$O D = 580 = 4 \cdot 145 = 2145 см$

3. Обчислення довжини медіани $C D$

Оскільки довжина всієї медіани утричі більша за довжину відрізка $O D$ :
$C D = 3 \cdot O D = 3 \cdot 2145 = 6145 см$

Відповідь: $6145 см$ .

Завдання № 11.41. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку