Завдання № 11.40. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $KLM$ відомо, що $KL=7\text{ см}$, $KM=9\text{ см}$, $LM=11\text{ см}$. На сторонах $KL$ і $KM$ узято такі точки $A$ і $B$ відповідно, що $KA=2\text{ см}$, $KB=3\text{ см}$. Знайдіть довжину відрізка $AB$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження косинуса кута $K$ у трикутнику $KLM$

За теоремою косинусів для трикутника $△KLM$:
$L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2-2\cdot KL\cdot KM\cdot \cos \angle K$

Виразимо $\cos \angle K$:
$\cos \angle K=\frac{K{L}^2+K{M}^2-L{M}^2}{2\cdot KL\cdot KM}$

Підставимо відомі значення сторін ($KL=7\text{ см}$, $KM=9\text{ см}$, $LM=11\text{ см}$):
$\cos \angle K=\frac{7^2+9^2-11^2}{2\cdot 7\cdot 9}=\frac{49+81-121}{126}=\frac{9}{126}=\frac{1}{14}$

2. Обчислення довжини відрізка $AB$ у трикутнику $AKB$

Кут $\angle K$ є спільним для трикутників $△KLM$ та $△AKB$. За умовою задачі $KA=2\text{ см}$, $KB=3\text{ см}$.

Застосуємо теорему косинусів для трикутника $△AKB$:
$A{B}^2=K{A}^2+K{B}^2-2\cdot KA\cdot KB\cdot \cos \angle K$

Підставимо значення довжин відрізків і знайдений косинус кута:
$A{B}^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{14}$
$A{B}^2=4+9-12\cdot \frac{1}{14}=13-\frac{6}{7}=\frac{91-6}{7}=\frac{85}{7}$

Звідси знайдемо довжину сторони $AB$, звільнившись від ірраціональності в знаменнику дробу:
$AB=\sqrt{\frac{85}{7}}=\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{85}\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{595}}{7}\text{ (см)}$

Відповідь: $\frac{\sqrt{595}}{7}\text{ см}$.