Завдання № 11.39. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У трикутнику $A B C$ відомо, що $A B = 8 см$ , $B C = 10 см$ , $A C = 12 см$ . На сторонах $A B$ і $A C$ позначено відповідно точки $M$ і $N$ так, що $A M = 3 см$ , $A N = 5 см$ . Знайдіть довжину відрізка $M N$ .

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження косинуса кута $A$ трикутника $A B C$

Розглянемо $△ A B C$ . У ньому відомі всі три сторони: $A B = 8 см$ , $B C = 10 см$ , $A C = 12 см$ .

За теоремою косинусів для сторони $B C$ :
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos ∠ A$

Звідси виразимо $cos ∠ A$ :
$cos ∠ A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}$

Підставимо числові значення:
$cos ∠ A = \frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{64 + 144 - 100}{192} = \frac{108}{192}$

Скоротимо дріб на $12$ :
$cos ∠ A = \frac{9}{16}$

2. Обчислення довжини відрізка $M N$

Розглянемо трикутник $A M N$ . У ньому відомі дві сторони: $A M = 3 см$ , $A N = 5 см$ та косинус кута між ними: $cos ∠ A = \frac{9}{16}$ .

Застосуємо теорему косинусів для сторони $M N$ у $△ A M N$ :
$M N^{2} = A M^{2} + A N^{2} - 2 \cdot A M \cdot A N \cdot cos ∠ A$

Підставимо відомі величини:

M N^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{9}{16} = 9 + 25 - 30 \cdot \frac{9}{16} = 34 - \frac{15 \cdot 9}{8} = 34 - \frac{135}{8} = \frac{34 \cdot 8 - 135}{8} = \frac{272 - 135}{8} = \frac{137}{8}

Знайдемо довжину відрізка $M N$ , винісши множник з-під кореня та позбувшись ірраціональності в знаменнику:
$M N = \frac{137}{8} = \frac{137 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{274}{16} = \frac{274}{4} (см)$

Відповідь: $\frac{274}{4} см$ .

Завдання № 11.39. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку