Завдання № 11.38. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $7 см$ і $9 см$ , а медіана, проведена до третьої сторони, відноситься до цієї сторони як $2 : 7$ . Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та позначень
Нехай у трикутнику $A B C$ довжини відомих сторін становлять $A B = 7 см$ та $A C = 9 см$ .
До третьої сторони $B C$ проведено медіану $A K$ . За умовою задачі відношення медіани до третьої сторони дорівнює:

\frac{A K}{B C} = \frac{2}{7}

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ( $x > 0$ ). Тоді:

A K = 2 x см, B C = 7 x см

2. Застосування теореми про довжину медіани трикутника
Довжина медіани $m_{c}$ , проведеної до сторони $c$ , пов’язана зі сторонами трикутника співвідношенням:

m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}

Помножимо обидві частини рівняння на $4$ :

4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}

Підставимо значення сторін $a = 7$ , $b = 9$ , $c = 7 x$ та медіани $m_{c} = 2 x$ :

4 \cdot (2 x)^{2} = 2 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 9^{2} - (7 x)^{2}

3. Розв’язання рівняння

4 \cdot 4 x^{2} = 2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - 49 x^{2} 16 x^{2} = 98 + 162 - 49 x^{2} 16 x^{2} = 260 - 49 x^{2} 16 x^{2} + 49 x^{2} = 260 65 x^{2} = 260 x^{2} = \frac{260}{65} x^{2} = 4

Оскільки довжина відрізка завжди є додатним числом, корінь $x = - 2$ не задовольняє геометричний зміст задачі. Отже:

x = 2

4. Обчислення третьої сторони та периметра
Знайдемо довжину третьої сторони $B C$ :

B C = 7 \cdot x = 7 \cdot 2 = 14 (см)

Периметр трикутника $A B C$ дорівнює сумі довжин усіх його сторін:

P = A B + A C + B C = 7 + 9 + 14 = 30 (см)

Відповідь: $30 см$ .

Завдання № 11.38. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку