Завдання № 11.37. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $7\text{ см}$ та $11\text{ см}$, а медіана, проведена до третьої сторони, на $8\text{ см}$ менша від цієї сторони. Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та позначень
Нехай у трикутнику $ABC$ сторони мають довжини:
$AB=c=7\text{ см}$, $AC=b=11\text{ см}$, а третя сторона $BC=a=x\text{ см}$.
Відрізок $AK=m_a$ — медіана, проведена до сторони $BC$.
За умовою задачі медіана на $8\text{ см}$ менша від сторони $BC$, тобто:
$AK=m_a=x-8\text{ (см)}$.
Оскільки довжина медіани має бути додатною величиною, то $x-8>0$, звідки $x>8$.

2. Застосування теореми про медіану трикутника
За формулою довжини медіани трикутника, вираженою через три його сторони (наслідок із теореми косинусів або теореми про суму квадратів діагоналей паралелограма):
$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

Помножимо обидві частини рівності на $4$:
$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2$

Підставимо у формулу відомі значення:
$4\cdot (x-8{)}^2=2\cdot 11^2+2\cdot 7^2-x^2$

3. Складання та розв’язування квадратного рівняння
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
$4\cdot (x^2-16x+64)+x^2=2\cdot (121+49)$
$4x^2-64x+256+x^2=2\cdot 170$
$5x^2-64x+256=340$
$5x^2-64x-84=0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D=(-64{)}^2-4\cdot 5\cdot (-84)=4096+1680=5776$
$\sqrt{D}=\sqrt{5776}=76$

Обчислимо корені рівняння:
$x_1=\frac{64+76}{2\cdot 5}=\frac{140}{10}=14$
$x_2=\frac{64-76}{2\cdot 5}=\frac{-12}{10}=-1,2$

Корінь $x_2=-1,2$ не задовольняє геометричний зміст задачі, оскільки довжина сторони повинна бути додатною ($x>8$).

Отже, довжина третьої сторони дорівнює:
$BC=14\text{ см}$

Перевіримо нерівність трикутника: сума будь-яких двох сторін повинна бути більшою за третю сторону:
$7+11=18>14$ — нерівність виконується, трикутник існує.

4. Обчислення периметра трикутника
Периметр трикутника дорівнює сумі довжин усіх його трьох сторін:
$P=AB+AC+BC=7+11+14=32\text{ см}$

Відповідь: $32\text{ см}$.