Завдання № 11.36. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $10\text{ см}$ і $7\text{ см}$, а синус кута між ними дорівнює $0,8$. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику задано дві сторони $a=10\text{ см}$, $b=7\text{ см}$, кут між ними дорівнює $\alpha$, а третя сторона дорівнює $c$. За умовою $\sin \alpha =0,8$.

1. Знаходження можливих значень косинуса кута

Кут трикутника задовольняє умову $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$. У цьому проміжку синус кута завжди додатний, проте кут $\alpha$ може бути як гострим (тоді $\cos \alpha >0$), так і тупим (тоді $\cos \alpha <0$).

Використаємо основну тригонометричну тотожність:

Звідси:

Отже, можливі два випадки:
$\cos \alpha =0,6$ (кут $\alpha$ гострий) або $\cos \alpha =-0,6$ (кут $\alpha$ тупий).

Оскільки обидва значення косинуса задовольняють геометричні умови існування трикутника, задача матиме два розв’язки.

2. Обчислення третьої сторони для першого випадку ($\cos \alpha =0,6$)

За теоремою косинусів:

Підставимо значення величин:

3. Обчислення третьої сторони для другого випадку ($\cos \alpha =-0,6$)

За теоремою косинусів:

Обидва отримані трикутники існують, оскільки довжини їхніх сторін задовольняють нерівність трикутника.

Відповідь:
$\sqrt{65}\text{ см}$ або $\sqrt{233}\text{ см}$; задача має два розв’язки.