Завдання № 11.35. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $10\text{ см}$ і $12\text{ см}$, а синус кута між ними дорівнює $0,6$. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

Позначимо довжини відомих сторін трикутника як $a=10\text{ см}$ і $b=12\text{ см}$, а кут між ними — як $\alpha$. За умовою $\sin \alpha =0,6$. Позначимо третю сторону через $c$.

1. Знаходження косинуса кута між сторонами

Оскільки $\alpha$ — внутрішній кут трикутника, його градусна міра лежить у межах $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$. У цьому проміжку синус набуває лише додатних значень, тоді як косинус може бути:

• додатним, якщо кут $\alpha$ гострий ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$);
• від’ємним, якщо кут $\alpha$ тупий ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$).

За основною тригонометричною тотожністю ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:

Оскільки кут між сторонами може бути як гострим, так і тупим, задача має два можливих випадки.

2. Обчислення третьої сторони за теоремою косинусів

За теоремою косинусів:

Випадок 1: кут $\alpha$ є гострим ($\cos \alpha =0,8$)

Перевіримо виконання нерівності трикутника для сторін $10\text{ см}$, $12\text{ см}$ та $2\sqrt{13}\text{ см}$ ($2\sqrt{13}\approx 7,21\text{ см}$):

Нерівність трикутника виконується, тому такий трикутник існує.

Випадок 2: кут $\alpha$ є тупим ($\cos \alpha =-0,8$)

Перевіримо виконання нерівності трикутника для сторін $10\text{ см}$, $12\text{ см}$ та $2\sqrt{109}\text{ см}$ ($2\sqrt{109}\approx 20,88\text{ см}$):

Нерівність трикутника виконується, тому такий трикутник також існує.

3. Геометрична ілюстрація двох випадків

Отже, задача має $2$ розв’язки: сторона може дорівнювати $2\sqrt{13}\text{ см}$ або $2\sqrt{109}\text{ см}$.

Відповідь: $2\sqrt{13}\text{ см}$ або $2\sqrt{109}\text{ см}$; задача має $2$ розв’язки.