Завдання № 11.34. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Середня за довжиною сторона трикутника на $1 см$ більша за меншу сторону і на $1 см$ менша від більшої сторони. Косинус середнього за величиною кута трикутника дорівнює $\frac{2}{3}$ . Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінних та аналіз умови

Нехай довжина середньої за величиною сторони трикутника дорівнює $x см$ .
Тоді:

менша сторона дорівнює $(x - 1) см$ ;
більша сторона дорівнює $(x + 1) см$ .

Оскільки довжини сторін є додатними величинами, має виконуватися умова $x - 1 > 0$ , тобто $x > 1$ . Крім того, за нерівністю трикутника сума двох менших сторін має бути більшою за третю сторону:

(x - 1) + x > x + 1 ⟹ 2 x - 1 > x + 1 ⟹ x > 2

У будь-якому трикутнику навпроти середньої за довжиною сторони лежить середній за величиною кут. Позначимо цей кут як $β$ . За умовою задачі $cos β = \frac{2}{3}$ .

2. Застосування теореми косинусів

За теоремою косинусів квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Для сторони, що лежить навпроти кута $β$ , маємо:

x^{2} = (x - 1)^{2} + (x + 1)^{2} - 2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot cos β

Підставимо відоме значення $cos β = \frac{2}{3}$ :

x^{2} = (x - 1)^{2} + (x + 1)^{2} - 2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot \frac{2}{3}

Розкриємо дужки, застосувавши формули скороченого множення:

(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1

(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

Підставимо отримані вирази в рівняння:

x^{2} x^{2} x^{2} = (x^{2} - 2 x + 1) + (x^{2} + 2 x + 1) - \frac{4}{3} \cdot (x^{2} - 1) = 2 x^{2} + 2 - \frac{4}{3} x^{2} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{10}{3}

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину:

x^{2} - \frac{2}{3} x^{2} \frac{1}{3} x^{2} x^{2} = \frac{10}{3} = \frac{10}{3} = 10

Оскільки $x > 0$ , отримуємо:

x = 10

Значення $x = 10 \approx 3, 16$ задовольняє умову існування трикутника ( $x > 2$ ).

3. Обчислення периметра трикутника

Периметр трикутника $P$ дорівнює сумі довжин усіх його сторін:

P = (x - 1) + x + (x + 1) = 3 x

Підставимо знайдене значення $x$ :

P = 3 \cdot 10 = 310 (см)

Відповідь: $310 см$ .

Завдання № 11.34. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку