Завдання № 11.33. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Одна зі сторін трикутника дорівнює $13\text{ см}$. Сума двох інших сторін дорівнює $23\text{ см}$. Знайдіть ці сторони, якщо вони утворюють кут $60^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної

Нехай довжина однієї з шуканих сторін дорівнює $x\text{ см}$. Оскільки їхня сума становить $23\text{ см}$, то довжина другої сторони дорівнює $(23-x)\text{ см}$.
За геометричним змістом довжини сторін є додатними, тому $0<x<23$.

Кут між цими сторонами дорівнює $60^{\circ }$, а сторона, яка лежить навпроти цього кута, має довжину $13\text{ см}$.

2. Складання рівняння за теоремою косинусів

За теоремою косинусів для сторони трикутника, що лежить навпроти кута $60^{\circ }$:
$13^2=x^2+(23-x{)}^2-2\cdot x\cdot (23-x)\cdot \cos 60^{\circ }$

Значення $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Підставимо його у рівняння:
$169=x^2+(529-46x+x^2)-2\cdot x\cdot (23-x)\cdot \frac{1}{2}$

Спростимо вираз:
$169=2x^2-46x+529-x(23-x)$
$169=2x^2-46x+529-23x+x^2$
$169=3x^2-69x+529$

Перенесемо всі доданки в один бік:
$3x^2-69x+529-169=0$
$3x^2-69x+360=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$:
$x^2-23x+120=0$

3. Знаходження коренів квадратного рівняння

За теоремою Вієта:

Добуток чисел дорівнює $120$, а сума — $23$. Цими числами є $8$ та $15$:
$x_1=8,x_2=15$

Обидва корені задовольняють умову $0<x<23$.

4. Визначення шуканих сторін

• Якщо перша сторона $x=8\text{ см}$, то друга сторона: $23-8=15\text{ см}$.
• Якщо перша сторона $x=15\text{ см}$, то друга сторона: $23-15=8\text{ см}$.

Отже, довжини шуканих сторін дорівнюють $8\text{ см}$ і $15\text{ см}$.

Відповідь: $8\text{ см}$ і $15\text{ см}$.