Завдання № 11.32. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що коли для трикутника $ABC$ справджується рівність $b^2=a^2+c^2+a\cdot c$, то $\angle B=120^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми косинусів

У довільному трикутнику $ABC$ зі сторонами $a$, $b$, $c$ та протилежним до сторони $b$ кутом $B$ за теоремою косинусів маємо:
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \angle B$

2. Порівняння з умовою задачі

За умовою задачі для сторін трикутника виконується співвідношення:
$b^2=a^2+c^2+a\cdot c$

Оскільки ліві частини обох рівностей однакові (дорівнюють $b^2$), прирівняємо їхні праві частини:
$a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \angle B=a^2+c^2+a\cdot c$

3. Знаходження косинуса кута $B$

Віднімемо від обох частин рівності вираз $a^2+c^2$:
$-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \angle B=a\cdot c$

Оскільки сторони трикутника мають додатну довжину ($a>0$, $c>0$), добуток $a\cdot c\ne 0$. Поділимо обидві частини рівності на $-2\cdot a\cdot c$:
$\cos \angle B=-\frac{a\cdot c}{2\cdot a\cdot c}$
$\cos \angle B=-\frac{1}{2}$

4. Обчислення градусної міри кута $B$

Оскільки кут $B$ є внутрішнім кутом трикутника, його міра належить проміжку $0^{\circ }<\angle B<180^{\circ }$.

Значення косинуса є від’ємним, тому кут $\angle B$ — тупий:
$\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

Рівність доведено.

Відповідь:
Доведено, $\angle B=120^{\circ }$.