Завдання № 11.31. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що коли для трикутника $ABC$ справджується рівність $a^2=b^2+c^2-b\cdot c$, то $\angle A=60^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми косинусів
За теоремою косинусів для сторони $a$ трикутника $△ABC$ маємо:
$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \angle A$

2. Порівняння рівностей
За умовою задачі для сторін трикутника виконується співвідношення:
$a^2=b^2+c^2-b\cdot c$

Прирівняємо праві частини обох виразів для $a^2$:
$b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \angle A=b^2+c^2-b\cdot c$

3. Знаходження косинуса кута $A$
Віднімемо від обох частин рівності вираз $b^2+c^2$:
$-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \angle A=-b\cdot c$

Оскільки $b$ і $c$ — довжини сторін трикутника, вони є додатними числами ($b>0$, $c>0$), тому добуток $b\cdot c\ne 0$. Поділимо обидві частини рівності на $-2\cdot b\cdot c$:
$\cos \angle A=\frac{-b\cdot c}{-2\cdot b\cdot c}$
$\cos \angle A=\frac{1}{2}$

4. Визначення величини кута
Оскільки $\angle A$ є внутрішнім кутом трикутника, його градусна міра задовольняє умову $0^{\circ }<\angle A<180^{\circ }$.

Єдиним значенням кута в цьому проміжку, для якого $\cos \angle A=\frac{1}{2}$, є:
$\angle A=60^{\circ }$

Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, що $\angle A=60^{\circ }$.