Завдання № 11.30. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Дві сторони трикутника дорівнюють $7 см$ і $9 см$ , а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює $4 см$ . Знайдіть третю сторону трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику $A B C$ сторона $A B = 7 см$ , сторона $B C = 9 см$ , а відрізок $B K$ — медіана, проведена до сторони $A C$ , причому $B K = 4 см$ .

Оскільки $B K$ — медіана, точка $K$ є серединою сторони $A C$ . Позначимо довжину половини сторони як $A K = K C = x см$ ( $x > 0$ ). Тоді вся сторона $A C = 2 x см$ .

1. Застосування теореми косинусів для кута $A$

Виразимо косинус кута $A$ з двох різних трикутників.

З $△ A B K$ за теоремою косинусів:
$B K^{2} = A B^{2} + A K^{2} - 2 \cdot A B \cdot A K \cdot cos A$

Підставимо відомі значення:
$4^{2} = 7^{2} + x^{2} - 2 \cdot 7 \cdot x \cdot cos A$
$16 = 49 + x^{2} - 14 x \cdot cos A$
$14 x \cdot cos A = 49 - 16 + x^{2}$
$cos A = \frac{33 + x ^{2}}{14 x}$

З $△ A B C$ за теоремою косинусів:
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos A$

Оскільки $A C = 2 x$ :
$9^{2} = 7^{2} + (2 x)^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 2 x \cdot cos A$
$81 = 49 + 4 x^{2} - 28 x \cdot cos A$
$28 x \cdot cos A = 49 - 81 + 4 x^{2}$
$cos A = \frac{4 x ^{2} - 32}{28 x}$

2. Складання та розв’язання рівняння

Прирівняємо отримані вирази для $cos A$ :
$\frac{33 + x ^{2}}{14 x} = \frac{4 x ^{2} - 32}{28 x}$

Оскільки $x > 0$ , помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $28 x$ :
$2 \cdot (33 + x^{2}) = 4 x^{2} - 32$
$66 + 2 x^{2} = 4 x^{2} - 32$

Перенесемо доданки зі змінною в одну частину, а числові доданки — в іншу:
$4 x^{2} - 2 x^{2} = 66 + 32$
$2 x^{2} = 98$
$x^{2} = 49$

Звідси отримуємо корені:
$x = 7 або x = - 7$

Корінь $x = - 7$ не задовольняє геометричний зміст задачі, оскільки довжина відрізка повинна бути додатною ( $x > 0$ ). Отже, $x = 7 см$ .

3. Обчислення шуканої сторони

Знаходимо довжину третьої сторони $A C$ :
$A C = 2 x = 2 \cdot 7 = 14 см$

Відповідь:
$14 см$ .

Завдання № 11.30. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку