Завдання № 11.3. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Запишіть формули для обчислення косинусів кутів $K$ і $M$ трикутника $KLM$ (мал. 11.5), враховуючи, що його сторони відомо.

Покроковий розв’язок:

Для знаходження косинусів кутів трикутника за відомими сторонами скористаємося наслідком із теореми косинусів: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

1. Виведення формули для косинуса кута $K$

Для сторони $LM$, що лежить проти кута $K$, запишемо теорему косинусів:
$L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2-2\cdot KL\cdot KM\cdot \cos \angle K$

Виразимо доданок із косинусом кута:
$2\cdot KL\cdot KM\cdot \cos \angle K=K{L}^2+K{M}^2-L{M}^2$

Поділимо обидві частини рівності на $2\cdot KL\cdot KM$:
$\cos \angle K=\frac{K{L}^2+K{M}^2-L{M}^2}{2\cdot KL\cdot KM}$

2. Виведення формули для косинуса кута $M$

Для сторони $KL$, що лежить проти кута $M$, запишемо теорему косинусів:
$K{L}^2=L{M}^2+K{M}^2-2\cdot LM\cdot KM\cdot \cos \angle M$

Виразимо доданок із косинусом кута:
$2\cdot LM\cdot KM\cdot \cos \angle M=L{M}^2+K{M}^2-K{L}^2$

Поділимо обидві частини рівності на $2\cdot LM\cdot KM$:
$\cos \angle M=\frac{L{M}^2+K{M}^2-K{L}^2}{2\cdot LM\cdot KM}$

Відповідь:

$\cos \angle K=\frac{K{L}^2+K{M}^2-L{M}^2}{2\cdot KL\cdot KM}$;

$\cos \angle M=\frac{L{M}^2+K{M}^2-K{L}^2}{2\cdot LM\cdot KM}$.