Завдання № 11.29. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює $4 см$ , а медіана, проведена до неї, — $3 см$ . Знайдіть основу трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобедрений трикутник $△ A B C$ , у якому бічні сторони $A B = B C = 4 см$ , а $A C$ — основа. Проведено медіану $A K$ до бічної сторони $B C$ , тобто $A K = 3 см$ .

1. Визначення довжини відрізка $B K$

Оскільки $A K$ — медіана, проведена до сторони $B C$ , точка $K$ є серединою цієї сторони:
$B K = K C = \frac{B C}{2} = \frac{4}{2} = 2 см$

2. Знаходження косинуса кута $B$

Розглянемо $△ A B K$ . У ньому відомі всі три сторони: $A B = 4 см$ , $B K = 2 см$ , $A K = 3 см$ .

За теоремою косинусів для сторони $A K$ :
$A K^{2} = A B^{2} + B K^{2} - 2 \cdot A B \cdot B K \cdot cos ∠ B$

Підставимо відомі числові значення:
$3^{2} = 4^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot cos ∠ B$
$9 = 16 + 4 - 16 \cdot cos ∠ B$
$9 = 20 - 16 \cdot cos ∠ B$
$16 \cdot cos ∠ B = 20 - 9$
$16 \cdot cos ∠ B = 11 ⟹ cos ∠ B = \frac{11}{16}$

3. Обчислення основи $A C$

Розглянемо вихідний трикутник $△ A B C$ . За теоремою косинусів для сторони $A C$ :
$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos ∠ B$

Підставимо значення сторін $A B = B C = 4 см$ та знайдений $cos ∠ B$ :
$A C^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{11}{16}$
$A C^{2} = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{11}{16}$
$A C^{2} = 32 - 2 \cdot 11 = 32 - 22 = 10$
$A C = 10 см$

Відповідь:
$10 см$ .

Завдання № 11.29. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку