Завдання № 11.28. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна з діагоналей паралелограма на $2\text{ см}$ більша за другу. Знайдіть ці діагоналі, якщо сторони паралелограма дорівнюють $7\text{ см}$ та $11\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінних
Нехай менша діагональ паралелограма дорівнює $d_1=x\text{ см}$, тоді більша діагональ становить $d_2=(x+2)\text{ см}$, де $x>0$. Сторони паралелограма дорівнюють $a=7\text{ см}$ та $b=11\text{ см}$.

2. Складання рівняння за теоремою про діагоналі паралелограма
За теоремою про зв’язок між сторонами та діагоналями паралелограма, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін:
$d_1^2+d_2^2=2\cdot (a^2+b^2)$

Підставимо відомі значення у формулу:
$x^2+(x+2{)}^2=2\cdot (7^2+11^2)$

3. Розв’язання квадратного рівняння
Розкриємо дужки та спростимо вираз:
$x^2+x^2+4\cdot x+4=2\cdot (49+121)$
$2\cdot x^2+4\cdot x+4=2\cdot 170$
$2\cdot x^2+4\cdot x+4=340$
$2\cdot x^2+4\cdot x-336=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:
$x^2+2\cdot x-168=0$

Знайдемо корені рівняння за допомогою дискримінанта:
$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-168)=4+672=676=26^2$
$x_1=\frac{-2+26}{2\cdot 1}=\frac{24}{2}=12$
$x_2=\frac{-2-26}{2\cdot 1}=\frac{-28}{2}=-14$

4. Обчислення довжин діагоналей
Оскільки довжина відрізка має бути додатним числом ($x>0$), корінь $x=-14$ не задовольняє геометричний зміст задачі.

Отже, довжина меншої діагоналі дорівнює:
$d_1=12\text{ см}$

Довжина більшої діагоналі:
$d_2=12+2=14\text{ см}$

Відповідь:
$12\text{ см}$, $14\text{ см}$.