Завдання № 11.27. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Діагоналі паралелограма дорівнюють $7 см$ і $11 см$ , а одна зі сторін на $1 см$ більша за другу. Знайдіть периметр паралелограма.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінних та геометрична властивість
Нехай довжина меншої сторони паралелограма $A B C D$ дорівнює $A B = x см$ . Оскільки друга сторона на $1 см$ більша, то $A D = (x + 1) см$ , де $x > 0$ .

За теоремою про суму квадратів діагоналей паралелограма, сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін:
$A C^{2} + B D^{2} = 2 \cdot (A B^{2} + A D^{2})$

2. Складання та розв’язання алгебраїчного рівняння
Підставимо відомі значення довжин сторін та діагоналей у формулу:
$7^{2} + 1 1^{2} = 2 \cdot (x^{2} + (x + 1)^{2})$

Обчислимо числові значення та розкриємо дужки:
$49 + 121 = 2 \cdot (x^{2} + x^{2} + 2 x + 1)$
$170 = 2 \cdot (2 x^{2} + 2 x + 1)$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :
$2 x^{2} + 2 x + 1 = 85$
$2 x^{2} + 2 x - 84 = 0$

Поділимо кожний коефіцієнт на $2$ :
$x^{2} + x - 42 = 0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта:
${x_{1} + x_{2} = - 1 x_{1} \cdot x_{2} = - 42 ⟹ x_{1} = 6, x_{2} = - 7$

Оскільки довжина сторони геометричної фігури має бути додатною величиною ( $x > 0$ ), корінь $x = - 7$ не задовольняє умову задачі.

Отже, $x = 6 см$ .

3. Обчислення сторін та периметра
Довжини суміжних сторін паралелограма становлять:
$A B = 6 см$
$A D = 6 + 1 = 7 см$

Обчислимо периметр паралелограма за формулою:
$P = 2 \cdot (A B + A D) = 2 \cdot (6 + 7) = 2 \cdot 13 = 26 см$

Відповідь:
$26 см$

Завдання № 11.27. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку