Завдання № 11.26. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть сторони паралелограма, якщо вони відносяться як $2:3$, а діагоналі паралелограма дорівнюють $17\text{ см}$ і $19\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення коефіцієнта пропорційності

Нехай сторони паралелограма дорівнюють $a$ і $b$. Оскільки вони відносяться як $2:3$, введемо коефіцієнт пропорційності $x>0$.

Тоді:
$a=2x,b=3x$

Діагоналі паралелограма позначимо як $d_1=17\text{ см}$ і $d_2=19\text{ см}$.

2. Застосування теореми про суму квадратів діагоналей паралелограма

За теоремою, сума квадратів діагоналей будь-якого паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін:
$d_1^2+d_2^2=2\cdot (a^2+b^2)$

Підставимо відомі значення у формулу:
$17^2+19^2=2\cdot \left((2x{)}^2+(3x{)}^2\right)$

3. Розв’язання рівняння

Обчислимо квадрати чисел і спростимо вираз:
$289+361=2\cdot (4x^2+9x^2)$
$650=2\cdot 13x^2$
$650=26x^2$

Знайдемо $x^2$:
$x^2=\frac{650}{26}$
$x^2=25$

Оскільки довжина сторони є додатною величиною ($x>0$):
$x=\sqrt{25}=5$

4. Обчислення довжин сторін

Знайдемо сторони паралелограма:
$a=2\cdot 5=10\text{ см}$
$b=3\cdot 5=15\text{ см}$

Відповідь:
$10\text{ см}$, $15\text{ см}$.