Завдання № 11.25. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як $4 : 7$ , а сторони паралелограма дорівнюють $7 см$ і $9 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної

Нехай дано паралелограм $A B C D$ , у якого сторони $A B = C D = 7 см$ , $A D = B C = 9 см$ .

За умовою відношення діагоналей дорівнює $4 : 7$ . Позначимо коефіцієнт пропорційності через $x$ , де $x > 0$ . Тоді діагоналі паралелограма становлять:
$d_{1} = B D = 4 x см, d_{2} = A C = 7 x см$

2. Застосування теореми про суму квадратів діагоналей паралелограма

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін:
$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 \cdot (a^{2} + b^{2})$

Підставимо відомі числові значення та вирази для діагоналей:
$(4 x)^{2} + (7 x)^{2} = 2 \cdot (7^{2} + 9^{2})$

3. Розв’язання рівняння

Спростимо ліву та праву частини рівняння:
$16 x^{2} + 49 x^{2} = 2 \cdot (49 + 81)$
$65 x^{2} = 2 \cdot 130$
$65 x^{2} = 260$
$x^{2} = \frac{260}{65}$
$x^{2} = 4$

Оскільки довжина відрізка може бути тільки додатним числом ( $x > 0$ ), отримуємо:
$x = 2$

4. Обчислення довжин діагоналей

Знайдемо шукані діагоналі:
$d_{1} = 4 \cdot 2 = 8 см$
$d_{2} = 7 \cdot 2 = 14 см$

Відповідь: $8 см$ , $14 см$ .

Завдання № 11.25. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку