Завдання № 11.24. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $3\sqrt{2}\text{ см}$ і $5\text{ см}$, а кут проти більшої з них — $45^{\circ }$. Знайдіть третю сторону трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз умови та вибір невідомої величини

Позначимо вершини трикутника як $A$, $B$ і $C$.

Порівняємо довжини відомих сторін:
$5=\sqrt{25},3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$

Оскільки $\sqrt{25}>\sqrt{18}$, то сторона довжиною $5\text{ см}$ є більшою за сторону $3\sqrt{2}\text{ см}$.

За умовою кут проти більшої з цих двох сторін дорівнює $45^{\circ }$. Отже, нехай у $△ABC$:

• $AB=3\sqrt{2}\text{ см}$;
• сторона, протилежна куту $45^{\circ }$, це $BC=5\text{ см}$;
• кут $\angle A=45^{\circ }$;
• шукана третя сторона $AC=x\text{ см}$ (де $x>0$).

2. Застосування теореми косинусів

За теоремою косинусів для сторони $BC$, що лежить проти кута $A$:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A$

Підставимо відомі значення величин:
$5^2=(3\sqrt{2}{)}^2+x^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot x\cdot \cos 45^{\circ }$

Враховуючи, що $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$25=18+x^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Спростимо вираз:
$25=18+x^2-6x$
$x^2-6x+18-25=0$
$x^2-6x-7=0$

3. Розв’язання квадратного рівняння

Знайдемо корені рівняння за теоремою Вієта або за допомогою дискримінанта:
$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)=36+28=64=8^2$
$x_1=\frac{6+8}{2}=7$
$x_2=\frac{6-8}{2}=-1$

Оскільки довжина сторони трикутника не може бути від’ємним числом ($x>0$), корінь $x=-1$ не задовольняє геометричний зміст задачі.

Отже, довжина третьої сторони дорівнює $7\text{ см}$.

Відповідь:
$7\text{ см}$