Завдання № 11.23. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $7 см$ і $8 см$ , а кут проти меншої з них — $6 0^{\circ}$ . Знайдіть третю сторону трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз умови та позначення
Нехай у трикутнику $A B C$ задано дві сторони: $B C = 8 см$ та $A B = 7 см$ .
Оскільки $7 см < 8 см$ , меншою із двох відомих сторін є сторона $A B$ . Відповідно, проти неї лежить кут $∠ C = 6 0^{\circ}$ .
Позначимо довжину невідомої третьої сторони $A C$ через $x см$ , де $x > 0$ .

2. Застосування теореми косинусів
За теоремою косинусів для сторони $A B$ , що лежить навпроти кута $C$ :
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos ∠ C$

Підставимо відомі числові дані:
$7^{2} = x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ}$

3. Складання та розв’язування квадратного рівняння
Оскільки $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , маємо:
$49 = x^{2} + 64 - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$
$49 = x^{2} + 64 - 8 \cdot x$
Перенесемо всі доданки в один бік і зведемо рівняння до стандартного вигляду:
$x^{2} - 8 \cdot x + 15 = 0$

Знайдемо корені рівняння за теоремою Вієта:

{x_{1} + x_{2} = 8 x_{1} \cdot x_{2} = 15 ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = 5

4. Геометрична інтерпретація та перевірка
Обидва отримані значення є додатними числами. Перевіримо виконання нерівності трикутника (сума будь-яких двох сторін має бути більшою за третю сторону):

Якщо $x = 3 см$ : сторони дорівнюють $3 см$ , $7 см$ і $8 см$ . Нерівність $3 + 7 = 10 > 8$ виконується.
Якщо $x = 5 см$ : сторони дорівнюють $5 см$ , $7 см$ і $8 см$ . Нерівність $5 + 7 = 12 > 8$ виконується.

Геометрично коло з центром у точці $B$ радіуса $7 см$ перетинає промінь кута $C$ у двох точках ( $A_{1}$ та $A_{2}$ ), тому задача має два правильних розв’язки.

Отже, третя сторона може дорівнювати $3 см$ або $5 см$ .

Відповідь:
$3 см$ або $5 см$ .

Завдання № 11.23. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку