Завдання № 11.22. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр трикутника дорівнює $60 см$ . Дві його сторони відносяться як $5 : 8$ , а кут між ними дорівнює $6 0^{\circ}$ . Знайдіть сторони трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінної та позначення сторін

Нехай у трикутнику $A B C$ відомо відношення двох сторін: $A C : B C = 5 : 8$ , а кут між ними $∠ C = 6 0^{\circ}$ .
Введемо коефіцієнт пропорційності $x > 0$ . Тоді:
$A C = 5 x, B C = 8 x$

2. Знаходження третьої сторони за теоремою косинусів

За теоремою косинусів для сторони $A B$ трикутника $A B C$ :
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos ∠ C$

Підставимо вирази для сторін та значення $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ :

A B^{2} A B^{2} A B^{2} A B^{2} = (5 x)^{2} + (8 x)^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 8 x \cdot cos 6 0^{\circ} = 25 x^{2} + 64 x^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 8 x \cdot \frac{1}{2} = 89 x^{2} - 40 x^{2} = 49 x^{2}

Оскільки довжина сторони є додатною величиною:
$A B = 49 x^{2} = 7 x$

3. Обчислення довжин сторін через периметр

Периметр трикутника — це сума довжин усіх його сторін:
$P = A C + B C + A B$

Складемо рівняння за умовою задачі:

5 x + 8 x + 7 x 20 x x x = 60 = 60 = \frac{60}{20} = 3

Знайдемо сторони трикутника:
$A C = 5 \cdot 3 = 15 см$
$B C = 8 \cdot 3 = 24 см$
$A B = 7 \cdot 3 = 21 см$

Відповідь:
$15 см$ , $24 см$ , $21 см$ .

Завдання № 11.22. § 11. Теорема косинусів (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку